Critical damping calculator

Calculate critical damping, spring stiffness, mass or natural angular frequency for a linear oscillator, with a return-to-rest curve.

Solve for

Known restoring property

Oscillating mass

Spring stiffness (N/m)

Critical damping coefficient (N s/m): 20.00000000
Mass: 1
Spring stiffness (N/m): 100.00000000
Natural angular frequency (rad/s): 10.00000000
Natural frequency: 1.59155

Estimates for information only. Not financial, medical, legal or engineering advice. See the Terms.

Critical return from unit displacement data
Series	Time (s)	Displacement / initial displacement
Critical response	0	1
Critical response	0.006666666666666667	0.997874117367059
Critical response	0.013333333333333334	0.9918630949153404
Critical response	0.020000000000000004	0.9824769036935781
Critical response	0.02666666666666667	0.9701758952618883
Critical response	0.03333333333333333	0.9553750807650523
Critical response	0.04000000000000001	0.938448064449895
Critical response	0.04666666666666667	0.9197306584004825
Critical response	0.05333333333333334	0.8995242032487154
Critical response	0.060000000000000005	0.8780986177504423
Critical response	0.06666666666666667	0.8556951983876533
Critical response	0.07333333333333333	0.8325291885556523
Critical response	0.08000000000000002	0.8087921354109988
Critical response	0.08666666666666667	0.7846540510828729
Critical response	0.09333333333333334	0.7602653936792899
Critical response	0.1	0.7357588823428847
Critical response	0.10666666666666667	0.7112511595218522
Critical response	0.11333333333333334	0.6868443126137086
Critical response	0.12000000000000001	0.6626272662068445
Critical response	0.12666666666666668	0.6386770552819054
Critical response	0.13333333333333333	0.6150599889366957
Critical response	0.14	0.5918327134598556
Critical response	0.14666666666666667	0.5690431828955749
Critical response	0.15333333333333335	0.546731544610014
Critical response	0.16000000000000003	0.5249309467861041
Critical response	0.16666666666666666	0.5036682742334984
Critical response	0.17333333333333334	0.4829648184013644
Critical response	0.18000000000000002	0.46283688702044223
Critical response	0.18666666666666668	0.44329635837453046
Critical response	0.19333333333333336	0.4243511848077188
Critical response	0.2	0.4060058497098381
Critical response	0.20666666666666667	0.388261781886523
Critical response	0.21333333333333335	0.3711177309099183
Critical response	0.22000000000000003	0.35457010675946843
Critical response	0.22666666666666668	0.3386132867976577
Critical response	0.23333333333333334	0.3232398928813502
Critical response	0.24000000000000002	0.30844104118400245
Critical response	0.24666666666666667	0.2942065670960604
Critical response	0.25333333333333335	0.28052522737900965
Critical response	0.26	0.26738488157160195
Critical response	0.26666666666666666	0.25477265448360564
Critical response	0.2733333333333334	0.24267508146199554
Critical response	0.28	0.23107823797582824
Critical response	0.2866666666666667	0.2199678549382592
Critical response	0.29333333333333333	0.20932942106642452
Critical response	0.3	0.19914827347145578
Critical response	0.3066666666666667	0.18940967757102586
Critical response	0.31333333333333335	0.180098897324876
Critical response	0.32000000000000006	0.17120125670913805
Critical response	0.3266666666666667	0.16270219326739277
Critical response	0.3333333333333333	0.15458730450476044
Critical response	0.34	0.1468423878254347
Critical response	0.3466666666666667	0.13945347465349803
Critical response	0.3533333333333334	0.13240685932117666
Critical response	0.36000000000000004	0.12568912325754572
Critical response	0.36666666666666664	0.1192871549637012
Critical response	0.37333333333333335	0.1131881662172785
Critical response	0.38	0.10737970490959488
Critical response	0.3866666666666667	0.1018496648823593
Critical response	0.39333333333333337	0.09658629309757079
Critical response	0.4	0.0915781944436709
Critical response	0.4066666666666667	0.08681433445301967
Critical response	0.41333333333333333	0.08228404018011398
Critical response	0.42000000000000004	0.07797699946648406
Critical response	0.4266666666666667	0.07388325879671159
Critical response	0.43333333333333335	0.06999321993035178
Critical response	0.44000000000000006	0.06629763547656957
Critical response	0.44666666666666666	0.06278760356187268
Critical response	0.45333333333333337	0.05945456172632711
Critical response	0.46	0.056290280169948026
Critical response	0.4666666666666667	0.05328685445847284
Critical response	0.4733333333333334	0.050436697786338205
Critical response	0.48000000000000004	0.04773253288431614
Critical response	0.4866666666666667	0.04516738364982259
Critical response	0.49333333333333335	0.04273456656933024
Critical response	0.5	0.0404276819945128
Critical response	0.5066666666666667	0.03824060532666482
Critical response	0.5133333333333333	0.036167478157513935
Critical response	0.52	0.034202699408716786
Critical response	0.5266666666666667	0.032340916507057886
Critical response	0.5333333333333333	0.030577016627599127
Critical response	0.5399999999999999	0.028906118032721088
Critical response	0.5466666666666667	0.0273235615311106
Critical response	0.5533333333333333	0.025824902077246692
Critical response	0.56	0.024405900528787335
Critical response	0.5666666666666667	0.02306251557643174
Critical response	0.5733333333333334	0.021790895858293892
Critical response	0.5800000000000001	0.020587372268555528
Critical response	0.5866666666666667	0.01944845046813757
Critical response	0.5933333333333334	0.01837080360332379
Critical response	0.6	0.01735126523666451
Critical response	0.6066666666666667	0.01638682249306485
Critical response	0.6133333333333334	0.01547460942270459
Critical response	0.62	0.014611900581329286
Critical response	0.6266666666666667	0.01379610482748055
Critical response	0.6333333333333333	0.013024759335385447
Critical response	0.6400000000000001	0.012295523821487101
Critical response	0.6466666666666667	0.0116061749819628
Critical response	0.6533333333333334	0.010954601138028309
Critical response	0.66	0.010338797085363984
Critical response	0.6666666666666666	0.009756859143605204
Critical response	0.6733333333333335	0.009206980401514978
Critical response	0.68	0.008687446153189459
Critical response	0.6866666666666668	0.00819662952043236
Critical response	0.6933333333333334	0.007732987256267959
Critical response	0.7	0.00729505572443613
Critical response	0.7066666666666668	0.006881447049624919
Critical response	0.7133333333333334	0.006490845433140651
Critical response	0.7200000000000001	0.006122003628688765
Critical response	0.7266666666666667	0.005773739572938046
Critical response	0.7333333333333333	0.0054449331655615045
Critical response	0.7400000000000001	0.005134523193488404
Critical response	0.7466666666666667	0.004841504394159027
Critical response	0.7533333333333334	0.004564924652645834
Critical response	0.76	0.004303882327589253
Critical response	0.7666666666666667	0.004057523700990734
Critical response	0.7733333333333334	0.003825040547009771
Critical response	0.78	0.003605667815022121
Critical response	0.7866666666666667	0.003398681422313377
Critical response	0.7933333333333333	0.003203396151903474
Critical response	0.8	0.003019163651122607

How this calculator works

For a mass attached to a linear spring with viscous damping, critical damping separates oscillatory and non-oscillatory free motion. The plot starts at unit displacement with zero initial velocity. It shows the exact critical response, not the simple exponential envelope of an underdamped oscillator. Angular frequency uses radians per second; ordinary frequency divides it by 2 pi.

Formula

cc = 2 sqrt(km); omega0 = sqrt(k/m) = cc/(2m); f0 = omega0/(2 pi). For x(0)=1 and x'(0)=0, x(t) = (1+omega0 t) exp(-omega0 t).

Worked example

A 1 kg mass on a 100 N/m spring has omega0 = 10 rad/s and cc = 20 N s/m. With the same spring and a critical coefficient of 40 N s/m, the mass is 4 kg.

Frequently asked questions

Does critical damping mean no motion?

No. The system returns towards equilibrium without oscillating for the stated release conditions.

Is angular frequency measured in hertz?

Angular frequency is in rad/s. The cycle frequency in hertz is omega divided by 2 pi.

Can I use this with dry friction?

This model assumes a force proportional to velocity. Coulomb friction and nonlinear dampers need other models.

Sources

OpenStax University Physics Volume 1: Damped oscillations

Written byAmira MansourCalculator writer. Builds and tests Mathulate calculators against published sources.

Reviewed byMarc LefebvreMathematics teacher. Checks each formula and worked example by hand.

Last updated November 1, 2026.